Pet Project Zombies: Logaritmische Groei

Deel 2: Groei met een begrenzing door beperkingen in  de omgeving.

Stel dat de omvang van een populatie beperkt is met  een maximum van B

De groei van de populatie zou naarmate dit maximum benaderd wordt moeten verminderen.

De recursieve functie gaat dan als volgt:
N(t+1)~ = N(t) + r * N(t) * ((B – N(t)) / B)

De groei van de populatie kun je dan als volgt formuleren:
$$ \frac{dN}{dt} = r \times N \times ( 1 - \frac{N}{B}) \\ \frac{dN}{dt} = r \times N \times ( \frac {B}{B} - \frac{N}{B}) \\ \frac{dN}{dt} = r \times N \times ( \frac {B-N}{B} \\ \frac{dN}{dt} = r \times \frac { N (B - N ) } {B} \\ \frac{1}{\frac{N(B-N)}{B}} \times \frac{dN}{dt} = r \\ \frac{B}{N(B-N)} \times \frac{dN}{dt} = r \\ \frac{B}{N(B-N)} \times dN = r \times dt\\ $$
$$ \int{\frac{B}{N(B-N)} \times dN} = \int {r \times dt} \\ \int{\frac{1}{N} + \frac{1}{B-N}} \times dN = \int {r \times dt}\\ ln |N| + ln |B-N| = \int {r \times dt}\\ ln | \frac{N}{B-N}| = \int {r \times dt}\\ ln | \frac{N}{B-N}| = {r}\times{t} + C\\ e^{{r}\times{t} + C}= \frac{N}{B-N}\\ e^Ce^{{r}\times{t}} = \frac{N}{B-N}\\ N = \frac{B\times e^{c}\times e^{rt}}{1 + e^{c} \times e^{rt} }\\ $$ $$ N = \frac{B \times C \times e^{rt} }{1 + C \times e^{rt}}\\ N = \frac {\frac{B \cdot C \cdot e^{rt} }{e^{rt}}} {\frac{1 + C \times e^{rt} }{e^{rt}} } \\ N= \frac{ \frac{B \times C \times e^{rt} }{e^{rt}} } { \frac{1}{e^{rt}} + \frac{c \times e^{rt}}{e^{rt}} }\\ N = \frac{B \times C}{e^{-rt} + C}\\ N = \frac{B \times C}{C+ e^{-rt}}\\ $$ Uitwerking C
$$ ln | \frac{N}{B-N}| = {r}\times{t} + C\\ $$
stel dt = 0
$$ ln | \frac{N}{B-N}| = C\\ | \frac{N}{B-N}| = e^{C} \times e^{r\times0}\\ | \frac{N}{B-N}| = e^{C} \times e^{0}\\ | \frac{N}{B-N}| = e^{C} \times 1\\ | \frac{N}{B-N}| = \check{c}\\ | \frac{N_{0}}{B-N_{0}} | = \check{c}\\ \\ N = \frac{B \times \frac{N_{0}}{B-N_{0}}}{\frac{N_{0}}{B-N_{0}} + e^{-rt}}\\ N = \frac{B \times \frac{N_{0}}{B-N_{0}}}{\frac{N_{0}}{B-N_{0}} + e^{-rt}} \times \frac{B-N_{0}}{B-N_{0}}\\ N= \frac{N_{0}B}{N_{0} + (B - N_{0}) e^{-rt}}\\ $$ Uitwerking breuksplitsen: $$ \frac{B}{N(B-N)} = \frac{p}{N} + \frac{q}{B-N}\\ \frac{p}{N} \times \frac{B-N}{B-N} + \frac{q}{B-N} \times \frac{N}{N}\\ \frac{p(B-N)}{N(B-N)} + \frac{qN}{(B-N)N}\\ \frac{p(B-N) + qN}{N(B-N)}\\ \\ p(B-N) + qN = B\\ pB -pN = qN = B\\ pB + N(-p + q) = B\\ \\ p = 1 \wedge (-p + q) = 0\\ p = 1 \wedge q = 1\\ \\ \frac{B}{N(B-N)} = \frac{1}{N} + \frac{1}{B-N}\\ $$

Hieronder volgt een voorbeeld van de groei-functie:

1) startpopulatie (N0) = 100
2) grens van de populatie (B) = 1000
3) initiële groeiratio (r) = 0.8

groeifunctie =  (100*1000)/ (100 + (1000 -100) * e^(-0.8*x))
afgeleide = (7200*e^((4*x)/5))/(e^((4*x)/5)+9)^2

begrenzingsfunctie = 1000
x1 = 0
x2 = 10

interactieve grafiek

Klassiek voorbeeld van de logaritmische groei: